是的，劳动局仍然有权处理欠薪问题。根据《中华人民共和国劳动法》和相关法律法规，雇主欠薪属于违法行为，工人可以向劳动局投诉。劳动局在受理投诉后将对雇主进行调查，并可以采取措施要求其支付欠薪。即使欠款时间较长，但每个工人仍然有权维护自己的合法权益。
根据《中华人民共和国劳动法》规定，用人单位应当按照约定的时间和支付的标准及时足额支付劳动者的工资。如果用人单位拖欠工资，劳动者可以向劳动保障部门投诉、申请仲裁或者提起诉讼。
因此，欠薪一个月，劳动局会受理，需要及时向当地劳动保障监察部门投诉，并提供相关证据，比如工资条、合同等。
劳动局会依法调查核实，如确实存在拖欠行为，会对用人单位进行惩罚并要求其立即支付拖欠的工资。
欠薪存在违法行为，若雇主恶意欠薪或长期拖延支付，严重影响劳动者的生计甚至生命安全时，可向公安机关报警。
但仅仅欠薪不是犯罪行为，只有涉嫌拒不支付劳动者工资，达到涉嫌职务侵占罪、诈骗罪等刑事犯罪行为的情况时，才会被刑事拘留。在报警时，应保留相关证据，如合同、签到记录、银行转账记录等。